一、带入排除法

题型

  • 年龄问题
  • 余数问题
  • 多位数问题：个位、十位、百位上数字的关系
  • 不定方程问题：未知数大于方程个数

代入

  • 问最大，先代最大，次大的概率大
  • 问最小，先代最小，次小的概率大

二、倍数特性法

  • 整除型
    • 口诀：3、9 看各位数字之和；4 看后两位；8 看后三位
    • 拆分：427 = 440 - 13，427 是否是 11 的倍数？427 = 440 - 13，因为13不是11的倍数，所以427不是11的倍数
    • 因式分解：判断是否是15的倍数，需要同时是3、5的倍数，两个数要互质
  • 余数型
    • 多退少补，相当于整除型中的拆分
  • 比例刑
    • 出现了比例，求具体数，优先考虑倍数特性法
  • 和差同性
    • 两数之和为奇数
    • 两数之差也为奇数

三、方程法

  • 普通方程，设未知数
    • 设小不设大
    • 设关联多的
    • 设比例数
    • 求谁设谁
  • 不定方程
    • 尾数特性：尾数 为 0 或 5
      • 37x + 20y = 271 ，因为20y的尾数永远为0，则37x的尾数应该为1，所以x = 3
      • 如果尾数为 5 ，等式两边都乘以2，转成0
    • 奇偶特性：系数，一奇一偶
      • 3x + 4y = 25，因为4y一定为偶数，所以3x 为奇数，x为奇数
    • 倍数特性：系数 与 常数 有公因子
      • 7x + 3y = 60，因为7x = 60-3y = 3×（20-y），所以7x一定是3的倍数
    • 直接带入
  • 不定方程组
    • 先确定未知数类型，判断未知数是否必须为整数
    • 必须为整数，人或车辆。消元，消元后变成一个不定方程，再利用你不定方程规则解题
    • 不必须为整数，时间、金钱、或速度。赋0法，设其中一个未知数为0，计算其他未知数

四、工程问题

1、给定完工时间型：

  • 给多个完工时间
    • 根据公倍数，先赋总量
    • 求效率，总量/时间
    • 列方程求解
  • 同时开始，同时结束的工程
    • 先总体，总时间t = 工程和 / 效率和
    • 在分开，帮谁分析谁

2、给定效率比例型

  • 给时间 和 效率
    • 效率比例，进行赋值
    • 总量 = 效率 × 时间
    • 求解
  • 效率比例
    • 直接型，甲：乙 = 3：2，或 甲的效率比乙高 2/5
    • 间接型，一个项目，甲干3天，乙干7天完成；甲干2天，乙干9天可以完成，3x + 7y = 2x + 9y，x/y = 2

3、给定具体量型

  • 总工程 = 效率 × 时间
  • 知道其中两项，相当于三项都知道了，直接列方程求解

4、牛吃草问题

  • 题中元素在减少的同时，还在增加

五、行程问题

1、普通行程

  • 路程 = 速度 × 时间 ， s = vt
  • 平均速度 = S总 / t总
  • 等距离平均速度 = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

2、相对行程

  • 直线
    • 相遇，S和 = (v₁ + v₂) × t
    • 追及，S差 = (v₁ - v₂) × t
  • 环形
    • 相遇，S和 = (v₁ + v₂) × t，环形跑道上，同时出发，背向而行，相遇两人一共走了一圈，同向而行，快的追上慢的，快的比慢的多走一圈
    • 追及，S差 = (v₁ - v₂) × t
  • 线型多次相遇
    • 两端出发，多次相遇。(v₁ + v₂) × t = （2n - 1）× S单程，n是相遇次数
    • 同端出发，多次相遇。(v₁ + v₂) × t = 2n × S单程

3、流水行船

  • V顺 = V船 + V水
  • V逆 = V船 - V水
  • V船 = （V顺 + V逆）/ 2
  • V水 = （V顺 - V逆）/ 2
  • 静水速度 = 船速
  • 漂流速度 = 水速

4、火车过桥

  • 完全通过，S = 桥长 + 车长
  • 完全在桥上，S = 桥长 - 车长

六、经济利润问题

1、基础经济

  • 利润 = 售价 - 成本
  • 利润率 = 利润 / 成本
  • 售价 = 成本 × （1 + 利润率）
  • 折扣 = 折后价 / 折前价

2、分段经济

如 水电费、税费、出租车费等

  • ① 找到分段点
  • ② 按标准分开
  • ③ 加和汇总

3、经济最值

价格越高，卖的越少，求价格是多少时，销售量/利润最大？

  • ① 设降价次数为 x
  • ② 让两个括号都等于 0
  • ③ 两个数的平均数就是最值
  • 要注意题目要求的是收入还是利润

七、最值问题

1、最不利构造

  • 至少···才能保证
  • 保证数 = 最不利数 + 1，最不利数就是：不够时全给你，够的话少给你一个
  • 有4个红球，5个蓝球，8个黄球，至少那几个才能保证拿到的6个颜色相同？ 保证数 = 4 + 5 + 5 + 1 = 15

2、构造数列

  • 和定最值，排名第N位的···最多/最少
  • ① 构造
    • 若求最大，其他尽可能小，从最小开始构造
    • 若求最小，其他尽可能大，从最大开始构造
    • 若题目中没有说明各不相同，默认可以相同
  • ② 求解
    • 若结果不为整数，反向取整

3、多集合反向构造

  • 都···至少
  • 反向 -> 求和 -> 作差

八、排列组合与概率问题

1、排列组合

  • 基础
    • 分类 (要么···要么）相加，分步 (先···后）想乘
    • 排列 A：与顺序有关，A⁴₁₀ = 10 × 9 × 8 × 7
    • 组合 C：与顺序无关，C⁴₁₀ = C⁶₁₀ = 10 × 9 × 8 × 7 / (4 × 3 × 2 × 1)
  • 常见排列组合
    • 枚举法：选项数小。
    • 捆绑法：要相邻。把要相邻的看成一个，与其他排列后，在考虑相邻的两个的内部关系
    • 插空法：不要相邻。先把可以相邻的排序，形成若干空位，再把不相邻的插进去
    • 插板法：
      • n个元素分给m个人，每个人至少一个，Cₙ₋₁ᵐ⁻¹
      • n个元素分给m个人，每个人至少a个，① 每人分（a-1）个 ② 在插板。30个相同的分给3个人，每个人至少分9个，则① （9-1）×3 = 24，30-24=6，再插板，相当于将6个元素分给3个人，每个人至少一个，即C²₅ = 10
    • 错位重排法：A、B、C，三人中，A不在A，B不在B，C不在C,重新排列

2、概率

  • 给情况求概率，概率 = 满足 / 全部
  • 给概率去概率，分类相加，分步相乘
  • 条件概率：两个主体，相同目标，求P。先任意固定一个，求另一个满足的P即可。两个人共同选择一道题（ABCD）都选B的概率为1/4

九、容斥原理问题

  • 两集合： 总数 = A + B - A∩B + 都不
  • 三集合：
    • 总数 = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C + 都不
    • 总数 = A + B + C - a - 2b + 都不，a 为只满足一项的，b 为只满足两项的，c 为只满足三项的
    • 总数 = a + b + c + 都不
    • A + B + C = a + 2b + 3c

十、溶液问题

溶质质量 = 溶液质量 × 浓度

  • 混合溶液：题干中给出溶质或者溶液的实际量，经过混合，溶液量和溶质量都发生了变化。
    • 用十字交叉法解题
  • 溶质不变：题干中出现了溶液和水混合或者蒸发溶液中的水
  • 溶液不变：题干中溶液之间惊醒多次混合，其中溶液的溶液量或两溶液的溶液量之和不变

十一、几何问题

1、平面几何

  • n边形的内角和 = （n - 2）× 180°。外角和恒等于360°
  • 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
  • r = 3时，球的表面积和体积相等
  • 周长一定，与接近圆，面积越大
  • 周长
    • C正方形 = 4a
    • C长方形 = 2 × （a + b）
    • C圆 = 2πr
  • 面积
    • S正方形 = a²
    • S长方形 = ab
    • S圆 = πr²
    • S三角形 = ah / 2
    • S平行四边形 = ah
    • S梯形 = （a + b）× h / 2

2、立体几何

  • 面积一定，越接近求，体积越大
  • 表面积
    • S正方体 = 6 × a²
    • S长方体 = 2 ×（ab + ac + bc）
    • S球体 = 4πr² = πD²
    • S圆柱体 = 2πr² + 2πrh
  • 体积
    • V正方体 = a³
    • V长方体 = abc
    • V球体 = 4πr³ / 3
    • V圆柱体 = πr²h
    • V圆锥体 = πr²h / 3

十二、其他问题

  • 年龄问题
    • 年龄 = 现在年份 - 出生年份
    • 两个人的年龄差始终不变，每经过n年，每人都长n岁
  • 周期问题
    • 周期余数：给出周期，求具体的某一天
    • 周期相遇：有多个周期，起点在一起，终点也在一起，求出最小公倍数
    • 每隔n天 = 每n+1天
  • 钟表问题
    • 时针每小时走30°，每分钟走0.5°；分针每小时走360°，每分钟都6°
    • 每个昼夜中，分针和时针成
      • 成直角，90°，48 - 4 = 44次
      • 重合，0°，24 - 2 = 22次
      • 平角，180°，24 - 2 = 22次
  • 数列问题
  • 植树问题
    • 单边线型植树：棵树 = 总长 ÷ 间隔 + 1
    • 单边楼间植树：棵树 = 总长 ÷ 间隔 - 1
    • 单边环形植树：棵树 = 总长 ÷ 间隔
    • 两边都植树，棵树 = 单边棵树 × 2
  • 方阵问题
    • 正方形实心方阵
      • 总人数 = N²
      • 最外层人数 = 4N - 4
      • 方阵相邻两层人数相差 8 人 ，最内层为1人时，最内层与次外层相差不满足
    • 长方形实心方阵
      • 总人数 = MN
      • 最外层人数 = 2（M + N）-4
  • 爬楼梯问题
    • 从地面爬到第N层，需要爬 N-1 层
    • 从M层爬到第N层，需要爬 N-M 层
  • 空瓶换酒问题
    • N个空瓶，换一瓶酒，X个空瓶最多可以换 X / （N - 1）瓶，当 X / （N - 1） 不为整数时，取整数部分
  • 比赛问题
    • 淘汰赛：每场淘汰一支队伍，每轮淘汰一半队伍，若总数为奇数，则有轮空
      • 决出冠亚军，需要 N-1 场
      • 决出1234名，需要 N 场
    • 循环赛
      • 单循环：每个队伍都会给其他队伍比赛一场，C²ₙ = n(n-1)/2
      • 双循环：每个队伍都会给其他队伍比赛两场，A²ₙ = n(n-1)
  • 扶梯上下问题
    • 扶梯总长 = 人走的阶数 × （1 ± V梯），顺行用加法，逆行用减法
  • 队伍行进问题
    • 队头 -> 队尾：队伍长度 = （V人 + V队伍）× 时间
    • 队尾 -> 队头：队伍长度 = （V人 - V队伍）× 时间

十三、蒙题技巧

  • ① 问最大选次大，问最小选次小。问最少有几个？ 　 A:12 　 B:13 　 C:14　 D:15　 选B:13
  • ② 题干中有倍数的，也选选项中有倍数的。A的浓度为B的2倍？则A的浓度为？ 　 A:5% 　 B:6% 　 C:8%　 D:10%　 选D:10%
  • ③ 求比重、概率等有两个选项和为1，则其中一个为正确答案，选2B或3C
  • ④ 倍数特性。有一批零件由A和B负责加工，A比B每天少做3个零件，如果A和B两个人合作要18天才能完成，现让A先做12天，B再做17天，还剩下1/6没有完成，求零件共有多少件？ 　 A:240 　 B:250 　 C:270　 D:300　 选C:270，因为总件数是18的倍数，即2和9的倍数